Testando seus conhecimentos

Racionalização

Raízes quadradas

 

           Em alguns cálculos, você pode se deparar com raízes no denominador da fração. Para que você possa prosseguir com os cálculos, é conveniente que você elimine essas raízes do denominador - processo chamado de racionalização de denominadores. Isto é, transforma-se um denominador irracional em racional.

o denominador é um número irracional e deve ser eliminado.

           Atenção: o importante é eliminar a raiz (que pode ser quadrada, cúbica, etc), mantendo uma fração "equivalente", ou seja, que representa o mesmo valor.

           Uma dica é multiplicar tanto o numerador (parte de cima), quanto o denominador pelo mesmo número, o que não interfere na igualdade. Se a fração anterior for multiplicada em cima e em baixo por ficará:

. Note que é igual a 1, logo a multiplicação de um número por 1 não o altera.

           Prosseguindo:



           Como se pode notar o denominador agora é um número racional (3).

Raízes não quadradas

           Para eliminar raízes cúbicas, ou de outros índices diferentes de 2 (lembre-se: raiz quadrada é, na verdade, uma raiz de índice 2!), é necessário utilizar um artifício.



           Multiplique, no numerador e no denominador, por uma raiz de mesmo radicando (o número dentro da raiz) e cujo índice seja equivalente ao índice da raiz original menos um. Por exemplo:

Soma de raízes no denominador

Veja:





Deve-se multiplicar por .

Isso porque a multiplicação de por é, na verdade, a multiplicação de (a + b). (a - b), um produto notável, cujo resultado é (a² - b²) - isto é, os radicais somem!

Operações com radicais

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

1º CASO : Os radicais não são semelhantes
Devemos proceder do seguinte modo:

a) Extrair as raízes (exatas ou aproximadas)
b) Somar ou subtrair os resultados

Exemplos

1) √16 + √9 = 4 + 3 = 7
2) √49 - √25 = 7 – 5 = 2
3) √2 + √3 = 1,41 + 1,73 = 3,14

Neste último exemplo, o resultado obtido é aproximado, pois √2 e √3 são números irracionais (representação decimal infinita e não periódica)

2º CASO: Os radicais são semelhantes.

Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, procedemos como na redução de termos semelhantes de uma soma algébrica.

Exemplos:

a) 5√2 + 3√2 = (5+3)√2 = 8√2
b) 6³√5 - 2³√5 = (6 – 2) ³√5 = 4³√5
c) 2√7 - 6√7 + √7 = (2 – 6 +1) √7 = -3√7

3º CASO: Os radicais tornam-se semelhantes depois de simplificados.

Exemplos

a)5√3 + √12
..5√3 + √2².3
..5√3 + 2√3
..7√3

b)√8 + 10√2 - √50
..√2².√2 +10√2 - √5². √2
..2√2 + 10√2 - 5√2
..7√2

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

1º Caso: Os radicais têm o mesmo índice
Efetuamos a operação entre os radicandos

Exemplos:

a) √5 . √7 = √35
b) 4√2 . 5√3 = 20√6
c) ⁴√10 : ⁴√2 = ⁴√5
d) 15√6 : 3√2 = 5√3

2º Caso: Os radicais não têm o mesmo índice
Inicialmente devemos reduzi-los ao mesmo índice

Exemplos

a) ³√2 . √5 = ⁶√2² . ⁶√5³ = ⁶√4 . ⁶√125 = ⁶√500


b)⁵√7 : √3 = ¹⁰√7² : ¹⁰√3⁵ = ¹⁰√49/243

REFERENCIA: http://ensinodematemtica.blogspot.com.br/2011/05/operacoes-com-radicais.html

Simplificação de radicais através da fatoração

Podemos simplificar e em alguns casos até mesmo eliminar radicais, através da decomposição do radicando em fatores primos. O raciocínio é simples, decompomos o radicando em fatores primos por fatoração e depois simplificamos os expoentes que são divisíveis pelo índice do radicando.

Vamos simplificar  decompondo 91125 em fatores primos:

Como 91125 = 3^6 _. 5³ podemos dizer que:

Repare que tanto o expoente do fator 3⁶, quanto o expoente do fator 5³ são múltiplos do índice do radicando que é igual a 3. Vamos então simplificá-los:

Perceba que através da fatoração de 91125 e da simplificação dos expoentes dos fatores pelo índice do radicando, extraímos a sua raiz cúbica eliminando assim o radical.

Vejamos agora o caso do radical :

Logo 2205 = 3^2 _. 5 _^. 7², então:

Como os expoentes dos fatores 3² e 7² são divisíveis pelo índice 2, vamos simplificá-los retirando-os assim do radical:

Neste caso o expoente do fator 5 não é divisível pelo índice 2 do radicando, por isto após a simplificação não conseguimos eliminar o radical.

Agora vamos analisar o número :

Note que 729 = 3⁶, então:

Neste caso o expoente de 3⁶ não é divisível pelo índice 5, mas é maior, então podemos escrever:

Repare que agora o expoente do fator 3⁵ é divisível pelo índice 5, podemos então retirá-lo do radical:

Outro exemplo, simplifique .

A divisão de 15 por 5 resulta em quociente 3 e resto 0, pois a divisão é exata, mas não há problema. Seguindo as explicações temos:

Veja que quando o é resto for zero podemos eliminar o radical, já que o radicando sempre será igual a 1, pois todo número natural não nulo elevado a zero é igual a um:

Nos casos em que os expoentes de todos os fatores forem menores que o índice do radical como, por exemplo, em, a simplificação não poderá ser realizada.

Raízes

Uma raiz nada mais é que uma operação inversa à potenciação, sendo assim, ela é utilizada para representar, de maneira diferente, uma potência com expoente fracionário.
Exemplos

Raiz com índice par

Para um número real a positivo, com n sendo um número natural par e positivo, maior que 1, tem-se um b, tal que, se  = b, então bⁿ = a, onde a é o radicando, n é o índice, b é raiz e √ é o radical. Com .

Nenhum valor de a negativo (-a) tem definição nesse caso.

Observação: quando o índice não aparecer no radical, isso indica que n = 2 e teremos uma raiz quadrada.

Exemplos:

Raiz com índice ímpar

Sendo a um número real, positivo ou negativo, com m sendo um número natural ímpar e positivo, maior que 1, tem-se um b, tal que, se  , então b^m = a, onde a é o radicando, m é o índice, b é raiz e √ é o radical. Com  .

Nesse caso é possível obtermos raízes negativas dentro do conjunto dos números reais (ℝ).

Exemplos:

Operações Fundamentais da Matemática

Quantas vezes nós professores de Matemática temos que ouvir essa pergunta: "Onde vou usar isso". Existe uma certa ignorância da parte dos alunos para aprender por achar que isso será em vão, já que eles acreditam que não irão utilizar tal aprendizagem. 
 E daí vem a necessidade da contextualização, quando mostramos para os alunos momentos em que ele pode utilizar aquilo que aprende em sala, e ainda melhor onde ele já utiliza em seu dia a dia mas de um modo diferente, dá outra visão para o aluno, a Matemática deixa de ser abstrata torna-se algo 'apalpável' e necessário.
 Por isso nós professores temos que nos esforçar cada vez mais nesse sentido, ajudando assim nossos alunos, dando para eles a visão que nós temos da Matemática, vendo-a como algo prazeroso, pois quanto mais eles entenderem mais eles irão gostar da Matemática.

TEXTO REFLEXIVO: Matemática da vida

Em nossa vida, como na matemática, devemos: 

- Somar alegrias; 
- Diminuir tristezas; 
- Multiplicar felicidade; 
- E dividir amor. 

Nestas dimensões, certamente todos gostamos da matemática. 

Somar alegrias.

Quem vive sozinho, longe dos outros, sem compartilhar alegrias, sem permutar experiências, diminui sua própria alegria e não alcança a felicidade. Ficamos, às vezes, penalizados, vendo tanta gente que ainda não fez esta descoberta. Pessoas que se fecham sobre si mesmas, por medo ou egoísmo, palmilham caminhos errados. Quem teme perder sua alegria, repartindo-a com os outros, ainda não aprendeu a psicologia humana. 

Diminuir tristezas 

A vida tem dessas compensações gratificantes. Quando conseguimos minorar a tristeza, nós é que saímos lucrando. Uma das mais profundas satisfações reservada a um coração humano é restituir o entusiasmo, a coragem e o 
otimismo aos irmãos da caminhada.
 
Multiplicar felicidade
 
Na família, no trabalho, na comunidade, em qualquer lugar onde plantamos felicidade, nós a multiplicamos. Felicidade partilhada é felicidade pessoal multiplicada. 

Dividir o amor 

Em matemática, quando dividimos um número pelo outro, o resultado final é sempre menor. Nas dimensões do amor humano, acontece exatamente o contrário. Dividir o amor com os outros é multiplicá-lo, é aumentá-lo. Todo aquele que divide seu amor com alguém, descobre em seguida ter multiplicado seu amor. 

Somar alegrias, diminuir tristezas, multiplicar felicidade, dividir o amor: é o mais lindo programa de vida que podemos abraçar. O ser humano é comunicativo por natureza. Não aguenta viver sozinho. O individualismo é o caminho mais certo da infelicidade, para a solidão. Somar alegrias, diminuir tristezas, multiplicar felicidade e dividir amor é a rota mais segura da Alegria de Viver. São estes os misteriosos caminhos da vida.

ALINE CONFESSOR E ANTÔNIO SILVIO

Equações do 2º Grau

Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:

2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.

2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nessa equação, em que uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.

x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, em que o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.

Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau, utilizando o método de Bhaskara.
Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja:



1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (?)
 
x² – 2x – 3 = 0
coeficientes: a = 1, b = –2 e c = –3.

? = b² – 4 . a . c
? = (–2)² – 4 . 1 . (–3)
? = 4 + 12
? = 16

2º passo



Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. 

Observe:

Catetos: a e b

Hipotenusa: c

O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c²

Exemplo 1:

Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:






x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15

Exemplo 2:

Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.




x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15