Simplificação de radicais através da fatoração

Podemos simplificar e em alguns casos até mesmo eliminar radicais, através da decomposição do radicando em fatores primos. O raciocínio é simples, decompomos o radicando em fatores primos por fatoração e depois simplificamos os expoentes que são divisíveis pelo índice do radicando.

Vamos simplificar  decompondo 91125 em fatores primos:

Como 91125 = 3^6 _. 5³ podemos dizer que:

Repare que tanto o expoente do fator 3⁶, quanto o expoente do fator 5³ são múltiplos do índice do radicando que é igual a 3. Vamos então simplificá-los:

Perceba que através da fatoração de 91125 e da simplificação dos expoentes dos fatores pelo índice do radicando, extraímos a sua raiz cúbica eliminando assim o radical.

Vejamos agora o caso do radical :

Logo 2205 = 3^2 _. 5 _^. 7², então:

Como os expoentes dos fatores 3² e 7² são divisíveis pelo índice 2, vamos simplificá-los retirando-os assim do radical:

Neste caso o expoente do fator 5 não é divisível pelo índice 2 do radicando, por isto após a simplificação não conseguimos eliminar o radical.

Agora vamos analisar o número :

Note que 729 = 3⁶, então:

Neste caso o expoente de 3⁶ não é divisível pelo índice 5, mas é maior, então podemos escrever:

Repare que agora o expoente do fator 3⁵ é divisível pelo índice 5, podemos então retirá-lo do radical:

Outro exemplo, simplifique .

A divisão de 15 por 5 resulta em quociente 3 e resto 0, pois a divisão é exata, mas não há problema. Seguindo as explicações temos:

Veja que quando o é resto for zero podemos eliminar o radical, já que o radicando sempre será igual a 1, pois todo número natural não nulo elevado a zero é igual a um:

Nos casos em que os expoentes de todos os fatores forem menores que o índice do radical como, por exemplo, em, a simplificação não poderá ser realizada.